Baccalauréat en mathématiques et physique

Structure du programme

Propriétés des nombres réels, concepts topologiques dans R, suites et séries numériques, propriétés des fonctions continues et fonctions dérivables d'une variable réelle à valeurs réelles.

Suites, séries. Fonctions de plusieurs variables, continuité, dérivées partielles, différentielles, plan tangent, dérivation en chaîne. Gradient, surfaces de niveau, extremums. Intégrales multiples, changement de variables, jacobien.

Calcul vectoriel : divergence, rotationnel, laplacien. Formules de Green-Riemann, de Stokes et théorème de la divergence. Introduction aux équations différentielles. Équations différentielles linéaires d'ordre un et deux.

Systèmes d'équations linéaires, élimination de Gauss, inverse matricielle. Espace vectoriel, indépendance linéaire, transformations linéaires, changement de base. Produit scalaire. Déterminants. Diagonalisation. Exemples d'applications.

Espace de probabilité. Analyse combinatoire. Probabilité conditionnelle. Indépendance. Variable aléatoire. Fonction de répartition et fonction génératrice. Espérance mathématique. Loi faible des grands nombres. Théorème limite central.

L'intégrale de Riemann, le théorème fondamental du calcul. Fonctions trigonométriques, exponentielles et leurs inverses. Suites et séries de fonctions, séries de Taylor, séries de Fourier.

Équations du premier et du second ordre. Existence et unicité. Dépendance continue par rapport à la condition initiale. Méthodes analytiques, qualitatives. Systèmes linéaires et non linéaires. Dynamique discrète.

Fonctions holomorphes d'une variable complexe. Représentation conforme. Équations de Cauchy-Riemann. Théorème de Cauchy. Séries de Laurent. Théorème fondamental des résidus.

Courbes dans R3 : courbure, torsion, équations de Frenet. Surfaces dans R3 : première et seconde formes fondamentales, courbures de Gauss et moyenne. Isométries et theorema egregium.

Fonctions Gamma et Bêta, séries de Fourier et d'autres fonctions orthogonales. Problème de Sturm-Liouville, approximation en moyenne quadratique, séparation de variables pour les équations aux dérivées partielles, transformées de Fourier et Laplace.

Présentation des activités de recherche poursuivies dans les différentes disciplines de la physique. Méthodologie, bases de données et rédaction scientifique. Considérations éthiques.

Éléments de programmation scientifique. Intégration numérique. Systèmes déterministes simples. Phénomènes stochastiques : modèle de Ising, marches aléatoires, agrégation, etc. Complexité : avalanches, fractales, chaos, etc.

Lois de Coulomb et de Gauss. Potentiel scalaire. Conducteurs. Énergie électrique et magnétique. Dipôle. Courants et densité de courant électrique. Lois d'Ampère et de Biot et Savart. Potentiel vecteur. Loi de Faraday.

Apprentissage des méthodes de physique expérimentale par l'étude de phénomènes physiques variés tirés de la mécanique classique, de la mécanique quantique et de l'électromagnétisme.

Oscillations libres, amorties et entretenues. Oscillateurs couplés et modes normaux. Ondes stationnaires. Superposition de modes et analyse de Fourier. Ondes progressives. Réflexion et transmission. Interférence.

Concepts fondamentaux de la mécanique. Lois de conservation. Rotation autour d'un axe. Forces centrales. Problème de Kepler. Diffusion et section efficace. Gravitation.

Référentiels non inertiels. Postulats de relativité. Dilatation du temps. Contractions des longueurs. Transformations de Lorentz. Effet Doppler. Cinématique relativiste. Quadrivecteurs.

Thermodynamique statistique. Fonctions thermodynamiques. Transformations de phases. Distribution canonique. Méc. stat. Statistiques quantiques. Applications de Gaz de bosons et de fermions.

Matériaux, fonction diélectrique, susceptibilité magnétique. Équations de Maxwell, de Fresnel. Ondes dans les milieux infinis. Polarisation. Interférences et diffraction. Couches optiques.

Dualité onde-particule. Postulats de la mécanique quantique. Oscillateur harmonique. Particules identiques. Moment angulaire. Atome d'hydrogène. Spin.

Fondements de la mécanique quantique. Additions de moments cinétiques. Méthodes variationnelles. Théorie des perturbations et règle d'or de Fermi. Introduction à la théorie de la diffusion.

Travaux pratiques en Mathematica : expressions, listes, fonctions, récursions, itérations, dérivations, intégrations, graphismes en 2 et 3 dimensions.

Topologie de Rⁿ. Ensembles ouverts, compacts. Applications continues, différentiables. Jacobien. Théorème de Taylor. Extrema. Théorème des fonctions inverses et implicites.

Propagation d'erreurs. Solution numérique d'équations non linéaires. Interpolation et approximation polynomiale. Dérivation et intégration numériques. Algèbre linéaire : méthodes directes et itératives. Approximation discrète par moindres carrés.

Étude de plusieurs sujets dans des domaines où les mathématiques jouent un rôle essentiel pour la technologie : informatique, cryptographie, transports, biotechnologie, pharmacie, traitement d'images, reconnaissances de formes, etc.

Anneaux, idéaux et modules, théorèmes d’isomorphisme, factorisation unique dans un domaine principal, forme normale d’un module noetherien sur un domaine principal, forme canonique et forme normale de Jordan d’une matrice.

Chaînes de Markov. Processus de Galton-Watson. Processus de Poisson. Processus de mort et de naissance. Étude naïve du mouvement brownien. Applications diverses.

Lien entre les marches aléatoires réversibles et les réseaux électriques. Exemples de graphes aléatoires, dont la percolation et les arbres couvrants. Marches aléatoires sur graphes aléatoires. Méthodes du premier et second moment.

Outils mathématiques utilisés pour comprendre des structures intrinsèques de données empiriques. Localité et régularité dans la construction de géométries globales de données. Représentation, exploration et analyse de géométries globales de données.

Processus de modélisation mathématique: simplification du problème sous étude, formulation mathématique, analyse et interprétation dans la discipline d'origine. Étude de problèmes issus de la biologie contemporaine.

Processus de modélisation mathématiques avancés: simulations, estimation de paramètres, interprétation. Introduction à l’utilisation des mathématiques dans un milieu multidisciplinaire (médecine, neurosciences, etc.). Étude de cas et projet appliqué.

Théorème fondamental de l'arithmétique. Équations diophantiennes. Congruences linéaires. Théorèmes d'Euler et de Fermat. Théorie des indices. Racines primitives. Résidus quadratiques. Congruences générales. Nombres premiers.

Description des données. Production de données. Probabilités. Inférence. Intervalles de confiance et tests d'hypothèses. Données de dénombrement. Tableaux de contingence. Régression linéaire simple. Remarques: Utilisation d'un progiciel.

Estimation ponctuelle et par intervalle. Tests d'hypothèses. Méthodes graphiques. Test du khi-deux. Théorie de la décision et inférence bayésienne. Comparaisons de deux échantillons. Lié aux examens CAS et agrément ICA.

Classification. Réduction de la dimension. Modélisation de relations avec noyaux de similarité. Regroupements. Apprentissage de variétés. Fondements mathématiques et applications d'algorithmes d'apprentissage.

Environnement et processus physique (matière et radiation). Activité biosphérique. Activités humaines. Climat et changements climatiques.

Radioactivité et interaction particules-matière. Radiologie diagnostique. Médecine nucléaire. Ultrasons. Imagerie médicale. Radio-oncologie.

Milieu plasma: définition, grandeurs caractéristiques, exemples d'applications. Mouvement d'une particule chargée dans des champs électriques et magnétiques. Description hydrodynamique : équations de transport, diffusion, mobilité.

Travaux pratiques : mesures de divers phénomènes physiques (effet photoélectrique, émission thermo-électrique, radioactivité, semi-conducteurs, rayonnement du corps noir, etc.); utilisation de micro-ordinateurs en laboratoire.

Structures cristallines. Dynamique du réseau. Bandes d'énergie et dynamique des électrons. Métaux. Semi-conducteurs. Isolants. Propriétés diélectriques et magnétiques.

Composition de la matière. Techniques expérimentales : accélérateurs, détecteurs. Interactions fondamentales. Éléments de physique nucléaire. Symétries et lois de conservation. Modèle de Glashow-Weinberg-Salam.

Les étoiles : propriétés physiques et évolution. Étoiles binaires. Amas d'étoiles. La galaxie : cinématique, structure, formation, évolution. Nature des galaxies. Galaxies spirales, elliptiques. Galaxies et Univers. Éléments de cosmologie.

Biophysique moléculaire et cellulaire. Thermodynamique biologique.

La physique prégaliléenne. Copernic, Kepler, Beeckman, Descartes, Huyghens, Newton, Mach, Einstein.

Analyse des données physiques via l'apprentissage automatique et les techniques modernes de statistique et de données massives. Remarque : aux cycles supérieurs, vous devez vous inscrire au cours PHY6051X.

Relativité restreinte. Champs gravitationnels faibles. Étoiles sphériques. Pulsars. Quasars. Cosmologie. Collapsus gravitationnel et trous noirs. Ondes gravitationnelles. Vérifications expérimentales de la théorie.

Approximations et erreurs. Techniques numériques. Applications en mécanique classique et quantique, transferts de chaleur et de masse, électromagnétisme, physique statistique. Assimilation des données.

Symétries, invariances et groupes. Théorie des groupes abstraits. Représentations des groupes et mécanique quantique. Applications à la physique des solides, à la physique nucléaire et aux particules élémentaires.

Cinématique et dynamique d'un fluide. Paramètres non dimensionnels. Fluide parfait. Compressibilité. Viscosité, couche limite. Turbulence.

Quantification du champ électromagnétique. Interaction rayonnement-matière. Équations de Bloch optiques. Le laser: principes, propriétés, applications. Éléments d'optique non-linéaire.

Moments magnétiques libres et règle de Hund. Interactions et structures magnétiques. Symétries brisées. Supraconductivité: effet Meisner, équations de London et modèle de Ginzburg-Landau. Introduction à la supraconductivité non conventionnelle.

Caractéristiques du noyau. Force à deux corps. Interaction de la radiation avec la matière. Désintégrations et réactions nucléaires. Masses et énergies de liaison. Forces et modèles nucléaires.

Étude des modèles d'atmosphères stellaires et de matière interstellaire. Propriétés du plasma atmosphérique. Éléments de transfert radiatif. Opacité radiative. Atmosphère grise. Modèles d'atmosphères standards.

Propriétés des plasmas stellaires. Transfert radiatif. Équations fondamentales des atmosphères et intérieurs stellaires. Réactions thermonucléaires. Transport d’énergie. Éléments d’évolution stellaire.

Équations fondamentales de la structure stellaire. Conditions physiques à l'intérieur des étoiles. Thermodynamique. Transport d'énergie. Réactions thermonucléaires. Chaînes de réactions nucléaires. Éléments d'évolution stellaire.

Modèle standard de la cosmologie. Histoire thermale de l’univers. Nucléosynthèse primordiale. Fond diffus cosmologique. Formation des structures de l’univers. Formation et évolution des galaxies. Amas de galaxies. Noyaux actifs et trous noirs.

Diffusion. Matrice densité. Intrication. Intégrales de chemin. Phases de Berry. Introduction à la théorie quantique relativiste et à la théorie des champs.

Formalismes de Lagrange et Hamilton. Transformations canoniques et crochets de Poisson. Formalisme de Hamilton-Jacobi. Mouvements des corps rigides et équations d'Euler.

Gaz parfait monoatomique à la limite classique. Thermodynamique du gaz parfait de Bose-Einstein et applications. Thermodynamique du gaz parfait de Fermi-Dirac et applications. Traitement du gaz imparfait.

Milieux dissipatifs, fonction diélectrique complexe. Guides d'onde conducteurs et optiques. Rayonnement. Formulation covariante de l'électromagnétisme.

Exemples de groupes : groupe symétrique, groupes linéaires. Sous-groupes et théorème de Lagrange. Groupe quotient et théorèmes d'isomorphisme. Actions et actions linéaires. Théorème de Sylow.

Équations du premier ordre et du second ordre. Caractéristiques et classification. Équations elliptiques : de Laplace, de Poisson. Équation des ondes. Équation de la chaleur. Introduction aux fonctions de Green.